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<!DOCTYPE html>

<title>Extremwert</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Extremwert</h1>

</header>

</div>

In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a> Ein globales Maximum bzw. globales Minimum ist der größte bzw. kleinste Wert, den eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich annehmen kann.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, wenn die Funktion in einer hinreichend kleinen <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> wird lokaler Maximierer bzw. lokaler Minimierer, Maximalstelle bzw. Minimalstelle oder zusammenfassend auch Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt oder je nach Art des Extremums Hoch- bzw. Tiefpunkt.

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Die <a href="L%C3%B6sung_(Mathematik)" title="Lösung (Mathematik)">Lösung</a> einer Extremwertaufgabe, für eine einfache Darstellung siehe <a href="Kurvendiskussion" title="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</a>, nennt man die extremale Lösung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eindimensionaler_Fall">Eindimensionaler Fall</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definitionen">Definitionen</h3></div>

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1d042e9da4cc0b7ac308a3a6f114baef5616cf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.701ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> (z. B. ein <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a>) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> hat an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in D}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b107b130543b591ac3037f4bc152da314ec51586.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in D}" loading="lazy">

<ul><li>ein lokales Minimum, wenn es eine <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9334d2f336bc0cba06a2dcf289212bedb023417f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.953ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U}" loading="lazy"> gilt;</li>

<li>ein globales Minimum, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9334d2f336bc0cba06a2dcf289212bedb023417f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy"> gilt;</li>

<li>ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/534266758d4a67dcd93dd9fdd61bf4389acf9fb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.953ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U}" loading="lazy"> gilt;</li>

<li>ein globales Maximum, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/534266758d4a67dcd93dd9fdd61bf4389acf9fb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy"> gilt.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li></ul>

Gibt es eine Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy">, in der für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59cd73ce908e9de3a7b84ffb2ef92312d8b01e91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.812ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq x_{0}}" loading="lazy"> sogar die strenge Ungleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})<f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})<f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37cb0ef626b1883814b736e5b512873524c94df1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})<f(x)}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})>f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})>f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6f288da16fdfcc3c594f44f3a767360fb5027ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})>f(x)}" loading="lazy">) gilt, so spricht man von einem strengen<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a> oder isolierten<a href="#cite_note-4">[4]</a> lokalen Minimum (bzw. strengen lokalen Maximum). Entsprechend sind die Begriffe strenges globales Minimum bzw. strenges globales Maximum definiert.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

Besitzt die Funktion an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein strenges lokales Maximum, so nennt man den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18f45486a7fce99328e062ba5719273f914100d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}" loading="lazy"> Hochpunkt, hat sie dort ein strenges lokales Minimum, so heißt der Punkt Tiefpunkt. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man allgemein von einem Extrempunkt.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Betrachtet wird die <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betragsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=|x|}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=|x|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e785fba1a563125783de15a5b5ddff8048a72ec3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=|x|}" loading="lazy">. Es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |0|=0}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |0|=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/550214d956a5bde2719eccd73a8e90cb72a4f1fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |0|=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x|>0}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x|>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b584ccbf206e5be1391044217775c750fd9fc05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x|>0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 0}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)<f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)<f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19e59eff0ec75b70719806c1d9a3379dad1b2c72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.766ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)<f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 0}" loading="lazy">. Folglich hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ein striktes globales Minimum bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}" loading="lazy">. Der zugehörige Tiefpunkt hat die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}" loading="lazy">, befindet sich also im Koordinatenursprung. Die Betragsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> hat weder lokale noch globale Maxima, denn für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2e1fd3534163cb031d88b529c837e5747ee40fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.038ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq x<y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq x<y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2612645a8286d176c63995110e4e178890416b47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leq x<y}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y<x\leq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y<x\leq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a0e21b456bd5bfe5996cd3a13f7d0477c3409b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y<x\leq 0}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x|<|y|}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x|<|y|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b5cb9fb4b302f5ab3e583a672604d9d8cfacb17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.171ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x|<|y|}" loading="lazy">; somit gibt es in jeder Umgebung eines beliebigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)<f(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)<f(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa0832e9ede2e57ee248445f4e3ed68187204fae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)<f(y)}" loading="lazy">, d. h. einen noch größeren Funktionswert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einfache_Folgerungen_aus_den_Definitionen">Einfache Folgerungen aus den Definitionen</h3></div>

Jedes strikte lokale Minimum (bzw. Maximum) ist insbesondere ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Eine analoge Aussage gilt für strikte globale Minima bzw. Maxima. Dies folgt aus der Implikation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})<f(x)\Rightarrow f(x_{0})\leq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})<f(x)\Rightarrow f(x_{0})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d481d4610dac5419b410012399a9c10f90464bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})<f(x)\Rightarrow f(x_{0})\leq f(x)}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})>f(x)\Rightarrow f(x_{0})\geq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})>f(x)\Rightarrow f(x_{0})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/223bc579a9f1fda839690e51594e6244062d8d01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})>f(x)\Rightarrow f(x_{0})\geq f(x)}" loading="lazy">.

Jedes globale Minimum (bzw. Maximum) ist zugleich ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Eine entsprechende Aussage gilt für strikte globale Minima bzw. Maxima. Dies folgt daraus, dass eine Aussage, die für alle Elemente einer Grundmenge gilt, erst recht für eine Teilmenge der Grundmenge gilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existenz_von_globalen_Extrema">Existenz von globalen Extrema</h3></div>

Jede <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a> auf einem <a href="Kompaktheit_(reelle_Zahlen)" title="Kompaktheit (reelle Zahlen)">kompakten</a> Intervall nimmt ein globales Maximum und ein globales Minimum an.<a href="#cite_note-7">[A 1]</a> Dieser <a href="Satz_vom_Minimum_und_Maximum" title="Satz vom Minimum und Maximum">Satz vom Minimum und Maximum</a> folgt aus dem <a href="Satz_von_Heine-Borel" title="Satz von Heine-Borel">Satz von Heine-Borel</a>, wird aber oft auch nach <a href="Karl_Weierstra%C3%9F" title="Karl Weierstraß">Karl Weierstraß</a> oder <a href="Bernard_Bolzano" title="Bernard Bolzano">Bernard Bolzano</a> benannt. Es handelt sich um eine reine <a href="Existenzaussage" title="Existenzaussage">Existenzaussage</a>, die keine Informationen darüber liefert, wie die Extrema ggf. aufgefunden werden können.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hinreichendes_Kriterium_für_lokale_Extrema">Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> monoton fallend (bzw. steigend) auf einem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\alpha ,x_{0}]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\alpha ,x_{0}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d4e06c14ea2fe0e9bebbf4fe051290b3978574.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\alpha ,x_{0}]}" loading="lazy"> monoton steigend (bzw. fallend) auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x_{0},\beta )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x_{0},\beta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba70482557cdd0865bbca8921d92b8de9e20c4ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.301ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x_{0},\beta )}" loading="lazy">, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Im Falle von strenger Monotonie folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum ist.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So hat etwa die Funktion, die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}\left(1+\sin(1/x)\right)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}\left(1+\sin(1/x)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5405f15db7b4f682ac948344280c14281e9b3a3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.419ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}\left(1+\sin(1/x)\right)}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=0}" loading="lazy"> definiert ist, ein lokales Minimum bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}" loading="lazy">, ohne dass sie links von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> monoton fallend und rechts von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> steigend ist.<a href="#cite_note-8">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_von_Extremstellen_differenzierbarer_Funktionen">Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbare</a> Funktion auf einer <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offenen Menge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3891fd33958c3b7dc0dbd3e6861db3fbefeb66e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy">, so lässt sie sich mithilfe der <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Differentialrechnung</a> auf Extremstellen untersuchen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Notwendiges_Kriterium">Notwendiges Kriterium</h4></div>

Hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an einer Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dee8010e46dd5891756fb4b02b43bc661f7c666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.007ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in U}" loading="lazy"> ein lokales Extremum, so ist dort die erste Ableitung gleich null:<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccb00c237e61f1121e81c87826a52a394a31b720.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.846ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0\,}" loading="lazy">.</dd></dl>

Neben lokalen Extrema erfüllen auch <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunkte</a> dieses Kriterium.<a href="#cite_note-9">[A 2]</a> Ein klassisches Beispiel ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b666f585570f17a4015f8bc1797a8c074744d27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.9ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{3}}" loading="lazy">, deren Ableitung im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> verschwindet, ohne dass die Funktion dort ein lokales Extremum hat. Zum Nachweis der Extremwerteigenschaft bedarf es deshalb eines hinreichenden Kriteriums oder weiterer Überlegungen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Hinreichende_Kriterien">Hinreichende Kriterien</h4></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zweimal differenzierbar, und gilt neben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}" loading="lazy"> auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})\neq 0}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef47282f9a01aa1ad74c8cafbff5a90af72e6175.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.912ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})\neq 0}" loading="lazy">, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein strenges lokales Extremum. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})>0}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae92e07699290afc2d950dba2a49f3f405b81a25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.912ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})>0}" loading="lazy">, handelt es sich dabei um ein strenges lokales Minimum, für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})<0}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64f7d496608ef59361c01ee3c5f912c387816721.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.912ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})<0}" loading="lazy"> dagegen um ein strenges lokales Maximum (Kriterium der 2. Ableitung).<a href="#cite_note-10">[8]</a></li>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}" loading="lazy"> und außerdem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}" loading="lazy"> lokal um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> <a href="Monotone_reelle_Funktion" title="Monotone reelle Funktion">(streng) monoton</a> steigend (bzw. fallend), so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein (strenges) lokales Minimum (bzw. Maximum).<a href="#cite_note-11">[9]</a></li></ul>

<ul><li>Aus den ersten beiden Kriterien folgt eine allgemeinere Aussage: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> n-mal differenzierbar und gilt</li></ul>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0\,,\quad f^{(n)}(x_{0})\neq 0,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecdca2fe20b3ce3ea895f40cca7e1c518fe9d2a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.904ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0\,,\quad f^{(n)}(x_{0})\neq 0,}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>so folgt:</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gerade sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d155b384ec46e4e5002fee2b52ee3c63b19c7bb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.272ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/906779ea5cf9f0525288effe66232405cfa480a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.272ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}" loading="lazy">), so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein strenges lokales Maximum (bzw. Minimum).</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> hingegen ungerade, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> streng monoton steigend oder fallend (hat also dort einen Sattelpunkt).<a href="#cite_note-12">[10]</a></dd></dl>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}" loading="lazy"> und gilt zudem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)\leq 0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)\leq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b17ae5e8dd871250489ce71320e984f322a72bf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)\leq 0}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)\geq 0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abca05edca49c1dd3adb220efd6ceae0199aae65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)\geq 0}" loading="lazy">) für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x<x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x<x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e54ac07d38863a01c3dcd92742bfffb287e3f07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x<x_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)\geq 0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abca05edca49c1dd3adb220efd6ceae0199aae65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)\geq 0}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)\leq 0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)\leq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b17ae5e8dd871250489ce71320e984f322a72bf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)\leq 0}" loading="lazy">) für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x>x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x>x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3a572da461e16d8d92e8886a4a49fe71cecf943.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x>x_{0}}" loading="lazy"> in einer Umgebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy">, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein lokales Minimum (Maximum).<a href="#cite_note-13">[11]</a> Gelten sogar die strengen Ungleichungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)<0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c0bde42688139808aad1cefc4036c0c5a8ff9da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)<0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)>0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f0ead843d3e61f79403b8ef4e9259c76bcf2465.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)>0}" loading="lazy">, d. h. wechselt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> das Vorzeichen, so liegt ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum vor (Vorzeichenwechselkriterium).<a href="#cite_note-14">[12]</a></li></ul>

<ul><li>Für stetige Funktionen auf Intervallen gilt: Zwischen zwei lokalen Minima einer Funktion liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.<a href="#cite_note-15">[13]</a></li></ul>

<ul><li>Für differenzierbare Funktionen auf Intervallen gilt: Gibt es zwei Stellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<x_{0}<b}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<x_{0}<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed94c3264db39059ce7e9616b25941bbb053776b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a<x_{0}<b}" loading="lazy">, so dass die erste Ableitung im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}" loading="lazy"> nur die <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> hat, und sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)>f(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)>f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca56c847866e0c2929c4cd8bcefb65989e2611eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.888ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)>f(x_{0})}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(b)>f(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(b)>f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4f81ba40eb8986507635b57dc54aebf3e024b5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.656ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(b)>f(x_{0})}" loading="lazy">, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein lokales Minimum. Gilt die analoge Bedingung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)<f(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)<f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1dc209786e39f4c66cda1358165d9abdec95670.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.888ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)<f(x_{0})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(b)<f(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(b)<f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04367fbad9e527e46c5768a02c1af3731e53a0d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.656ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(b)<f(x_{0})}" loading="lazy">, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein lokales Maximum.</li></ul>

Es gibt allerdings auch Funktionen, bei denen keines der oben genannten Kriterien weiterhilft (siehe das letzte <a href="#Beispiele">Beispiel</a>).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}+3.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61bf01dbaabe2d6283dadbc4ddf714695dead6f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.55ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}+3.}" loading="lazy"> Die erste Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)=2x}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)=2x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c303b9422584925f8de55465ff05d23945903d4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.735ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)=2x}" loading="lazy"> hat nur bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}" loading="lazy"> eine Nullstelle. Die zweite Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)=2}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/853fcf91a223f6a204f42cf9e340283ba6fa1d49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=2}" loading="lazy"> ist dort positiv, also nimmt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af039012f220496d4d5fec53b935f498198d2b06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=3}" loading="lazy">.</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{4}+3.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a7433df6dd523edd89cdb0fc596810aa3ced4f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.55ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{4}+3.}" loading="lazy"> Die erste Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)=4x^{3}}">

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)=4x^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c8600f06c9dd86f20add082436d7acdc98ab66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.789ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f'(x)=4x^{3}}" loading="lazy"> hat nur bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}" loading="lazy"> eine Nullstelle. Die zweite Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)=12x^{2}}">

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=12x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9455f52ad07517ddeb6059c1e4f8cf9ad0ca7a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.404ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=12x^{2}}" loading="lazy"> ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:

<ul><li>Auch die dritte Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'''(x)=24x}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'''(x)=24x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cd9decacdb18f30663f60fec93ee67f42a44549.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.802ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'''(x)=24x}" loading="lazy"> ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(4)}(x)=24}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(4)}(x)=24}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbe16665096a8368be763741f8f85dd029c5196d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.216ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(4)}(x)=24}" loading="lazy"> die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.</li>

<li>Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}" loading="lazy"> ein lokales Minimum.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-1)=f(1)=4>3=f(0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65dc66c85efdc96b1e8504751e684c23323feaee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.278ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(-1)=f(1)=4>3=f(0)}" loading="lazy">, also hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e120a3bd60fc89b495dd7ef6039465b7e6a703b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1,1)}" loading="lazy"> ein lokales Minimum. Da die erste Ableitung in diesem Intervall nur die Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}" loading="lazy"> hat, muss das lokale Minimum dort angenommen werden.</li></ul></li></ul>

<ul><li>Die Funktion, die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})\cdot \sin ^{2}(1/x^{2})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})\cdot \sin ^{2}(1/x^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8490d53d35492dddeb5bb0cff899b06660c39ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.502ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})\cdot \sin ^{2}(1/x^{2})}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=0}" loading="lazy"> definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> ein globales Minimum.</li>

<li>Sie ist beliebig oft differenzierbar.</li>

<li>Alle Ableitungen bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> sind gleich 0.</li>

<li>Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.</li>

<li>Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendungsbeispiel">Anwendungsbeispiel</h3></div>

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Lösung von <a href="Optimierungsproblem" title="Optimierungsproblem">Optimierungsproblemen</a> verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

<ul><li>Wie muss ein <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a> aussehen, das bei einem gegebenen Umfang einen maximalen Flächeninhalt hat?</li></ul>

Lösungsweg:

Wird die Länge des Rechtecks mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> bezeichnet und seine Breite mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b4689ff0639c824e92e7469fae91926382aa24f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.522ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b>0}" loading="lazy">), so lautet die Formel für die zu maximierende Rechtecksfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=a\cdot b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=a\cdot b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6054395262b62d757c6751b36e54d54bc594521a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.748ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=a\cdot b}" loading="lazy"> (Zielfunktion). Durch Umstellen der Umfangsformel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U=2(a+b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=2(a+b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f57de2243c4c128318b5f2c7c04bb51cda094bc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.921ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U=2(a+b)}" loading="lazy"> erhält man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/432082c8be6a45035fd6f8fb2ab80bfdee370621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.607ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}" loading="lazy">. Einsetzen in die Flächenformel eliminiert die Variable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> in der Zielfunktion:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(a)=-a^{2}+{\frac {1}{2}}Ua}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a15f50372c881fb206f82774781ad66d5c605bf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.824ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A(a)=-a^{2}+{\frac {1}{2}}Ua}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die notwendige Bedingung liefert Kandidaten für ein lokales Maximum. Dazu bildet man die erste Ableitung

<msup>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f21ffd4aa71b1815f5dcfe29dabf19d43215ff75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.387ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U}" loading="lazy"></dd></dl>

und setzt sie gleich null:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2a+{\frac {1}{2}}U=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c0f1342c0ab5c972f91e2fb316c94d5a001ed7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.083ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle -2a+{\frac {1}{2}}U=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hieraus erhält man durch elementare Umformungen als einzigen Kandidaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58c1ed2f6ee720305785ea2d2b8fb718005703d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.823ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}" loading="lazy">.

Die zweite Ableitung lautet

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A''(a)=-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c924ec950033e6a8079798961020a28dc214912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.988ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A''(a)=-2}" loading="lazy">.</dd></dl>

Sie ist für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> negativ, also insbesondere für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58c1ed2f6ee720305785ea2d2b8fb718005703d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.823ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}" loading="lazy">. Somit liegt dort ein lokales Maximum vor, das zugleich das globale Maximum ist (da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}" loading="lazy"> der einzige Kandidat für ein lokales Maximum ist). Durch Einsetzen der Maximalstelle in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/432082c8be6a45035fd6f8fb2ab80bfdee370621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.607ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}" loading="lazy"> erhält man auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle b_{0}={\frac {1}{4}}U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle b_{0}={\frac {1}{4}}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b2a669501d322e88a0612d1695ddf2a1dc22848.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.591ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle b_{0}={\frac {1}{4}}U}" loading="lazy">. Also ist der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht).

Umgekehrt lässt sich aber auch sagen, dass ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang aufweist, wenn seine Länge und sein Höhe im Verhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1:1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1:1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f46e957402b67ab700c2f67a6db48a7412427149.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1:1}" loading="lazy"> zueinander stehen, d. h. wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mehrdimensionaler_Fall">Mehrdimensionaler Fall</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definitionen_2">Definitionen</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine Funktion, die von einer Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b709c793b75dcc64fb80372ca2bb82681a07452b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.919ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> abbildet, so werden die Begriffe des Minimums und des Maximums völlig analog zum eindimensionalen Fall definiert:

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/636cf08599b1f89a169a5273771880864bd90409.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.524ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> hat bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in D}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b107b130543b591ac3037f4bc152da314ec51586.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in D}" loading="lazy">

<ul><li>ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), wenn es eine Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9334d2f336bc0cba06a2dcf289212bedb023417f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/534266758d4a67dcd93dd9fdd61bf4389acf9fb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}" loading="lazy">) für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.953ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U}" loading="lazy">;<a href="#cite_note-:1-16">[14]</a></li>

<li>ein globales Minimum (bzw. globales Maximum), wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9334d2f336bc0cba06a2dcf289212bedb023417f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/534266758d4a67dcd93dd9fdd61bf4389acf9fb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}" loading="lazy">) für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_von_Extremstellen_differenzierbarer_Funktionen_2">Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen</h3></div>

Analog zum eindimensionalen Fall ist bei einer <a href="Differenzierbarkeit#Totale_Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">(total) differenzierbaren Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d15a59a7d1cbe40489140cfcc9e1f6ecd868ab34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.382ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> das Verschwinden des <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten</a>, d. h. aller <a href="Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partiellen Ableitungen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">-Richtungen, eine notwendige Bedingung dafür, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> in einem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> im Inneren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ein lokales Extremum annimmt. Hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ein lokales Extremum, so muss also gelten:<a href="#cite_note-:1-16">[14]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} f(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5853ce0ea2be42fcb66792d8b22e2d9358f62f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} f(x_{0})=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zweimal stetig differenzierbar, so ist in diesem Fall die <a href="Definitheit" title="Definitheit">Definitheit</a> der <a href="Hesse-Matrix" title="Hesse-Matrix">Hesse-Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{2}f(x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{2}f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e74449b55f5b55e9beaff7a57292bd57eb909792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.396ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D^{2}f(x)}" loading="lazy"> hinreichend: Ist sie positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit, handelt es sich um ein lokales Maximum; ist sie indefinit, liegt kein Extrempunkt, sondern ein <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunkt</a> vor. Wenn sie nur semidefinit ist, ist keine Entscheidung anhand der Hesse-Matrix möglich (siehe <a href="Peanosche_Fl%C3%A4che" title="Peanosche Fläche">peanosche Fläche</a>).<a href="#cite_note-17">[15]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unendlichdimensionaler_Fall">Unendlichdimensionaler Fall</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

Der Begriff des Maximums und des Minimums überträgt sich direkt auf den unendlichdimensionalen Fall. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ein Vektorraum und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subset X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subset X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26f75962c43a55f002bf5def5bc7764f69dbf3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.003ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D\subset X}" loading="lazy"> eine Teilmenge dieses Vektorraumes sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> ein Funktional, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}\in D}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82d30c254e35346310a5cf7197fdc7f7ac393177.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}\in D}" loading="lazy">

<ul><li>ein (globales) Minimum, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5fcd915a5fb3b91d617e55868f804fc05ea3e6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy">,</li>

<li>ein (globales) Maximum, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d3655922280d37e1e26984518bdae6c8a3f79b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy">.</li></ul>

Der Zusatz „global“ wird meist weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> zusätzlich mit einer <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> versehen, also ein <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischer Raum</a>, dann hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}\in D}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82d30c254e35346310a5cf7197fdc7f7ac393177.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}\in D}" loading="lazy">

<ul><li>ein lokales Minimum, wenn es eine <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5fcd915a5fb3b91d617e55868f804fc05ea3e6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U\cap D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U\cap D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98cde2ab673e8010f1f5bdd402bd50ed39feae60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.46ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U\cap D}" loading="lazy"> gilt,</li>

<li>ein lokales Maximum, wenn es eine <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d3655922280d37e1e26984518bdae6c8a3f79b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U\cap D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U\cap D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98cde2ab673e8010f1f5bdd402bd50ed39feae60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.46ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U\cap D}" loading="lazy"> gilt.</li></ul>

Ein Punkt heißt ein (lokales) Extremum, wenn er ein (lokales) Minimum oder ein (lokales) Maximum ist. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existenz,_Eindeutigkeit_und_Geometrie_von_Extrema">Existenz, Eindeutigkeit und Geometrie von Extrema</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Existenz">Existenz</h4></div>

Entsprechend den Existenzaussagen für reelle Funktionen gibt es auch Aussagen für die Existenz von Extremalstellen von Funktionalen. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ein <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierter Raum</a>, so gilt:

<ul><li>Ein <a href="Schwach_unterhalbstetige_Funktion" class="mw-redirect" title="Schwach unterhalbstetige Funktion">schwach unterhalbstetiges Funktional</a> auf einer <a href="Schwach_folgenkompakte_Menge" title="Schwach folgenkompakte Menge">schwach folgenkompakten Menge</a> nimmt dort ihr Minimum an.</li></ul>

Da diese Version für die Anwendung und Überprüfung oft unpraktisch ist, schwächt man dies ab zu der Aussage, dass jedes stetige <a href="Quasikonvexe_Funktion" title="Quasikonvexe Funktion">quasikonvexe Funktional</a> auf einer beschränkten, konvexen und abgeschlossenen Teilmenge eines <a href="Reflexiver_Raum" title="Reflexiver Raum">reflexiven</a> <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraums</a> ein Minimum annimmt. Diese Aussage gilt auch für alle konvexen Funktionale, da diese immer quasikonvex sind. Im Endlichdimensionalen kann auf die Konvexität der Teilmenge verzichtet werden.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Eindeutigkeit">Eindeutigkeit</h4></div>

Unter gewissen Umständen sind die Optimalpunkte sogar eindeutig bestimmt. Dazu gehört zum Beispiel die <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">strikte Konvexität</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Geometrie">Geometrie</h4></div>

Schränkt man sich auf gewisse Klassen von Funktionalen ein, so kann man Aussagen über die Geometrie der Menge der Extremalpunkte treffen.

<ul><li>Ist das Funktional quasikonvex auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Minima konvex.</li>

<li>Ist das Funktional quasikonkav auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Maxima konvex.</li>

<li>Ist das Funktional konvex auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum.</li>

<li>Ist das Funktional konkav auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Maximum ein globales Maximum.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Andere_Arten_von_Extremwerten">Andere Arten von Extremwerten</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskrete_Optimierung">Diskrete Optimierung</h3></div>

Bei diskreten <a href="Optimierung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Optimierung (Mathematik)">Optimierungsproblemen</a> ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> wird daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">, die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\colon D\to {\mathcal {P}}(D);}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3145fa257eee688e4e1aecc2b7bdd0295d0ca909.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N\colon D\to {\mathcal {P}}(D);}" loading="lazy"></dd></dl>

dabei steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(D)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(D)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c584923d3c2459db2a91c69e3f6d6c61fa2903ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(D)}" loading="lazy"> für die <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in D}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b107b130543b591ac3037f4bc152da314ec51586.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in D}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3bf51a88bad21c5c0fa7fe1d7b6d5412aab9b54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}" loading="lazy"> für alle Nachbarn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in N(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in N(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a3622cf00b63e07de50e74dcb89f3f474d26cf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.427ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in N(x_{0})}" loading="lazy"> gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Variationsrechnung">Variationsrechnung</h3></div>

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, z. B. die Kontur eines Regentropfens mit minimalem Luftwiderstand, sind Gegenstand der <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Dabei können die Extremstellen auch in den Randpunkte des Intervalls liegen. In diesem Fall spricht man auch von einem Randminimum bzw. Randmaximum.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Eine Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dee8010e46dd5891756fb4b02b43bc661f7c666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.007ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in U}" loading="lazy">, an denen die Bedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}" loading="lazy"> erfüllt ist, heißt <a href="Kritischer_Punkt_(Mathematik)" title="Kritischer Punkt (Mathematik)">kritischer Punkt</a> oder stationärer Punkt. Kritische Punkte sind mögliche Kandidaten für Extremstellen. Mithilfe der hinreichenden Kriterien identifiziert man unter den kritischen Punkten diejenigen, die tatsächlich Extremstellen sind.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Optimum" title="Optimum">Optimum</a></li>

<li><a href="Maximumprinzip_(Mathematik)" title="Maximumprinzip (Mathematik)">Maximumprinzip</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Extremwert" class="extiw external" title="wikt:Extremwert">Wiktionary: Extremwert</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathematik-wissen.de/extremwerte.htm">Extremwerte (erklärt für Schüler)</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Karl_Strubecker" title="Karl Strubecker">Karl Strubecker</a>: Einführung in die Höhere Mathematik, Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen. R. Oldenbourg, München / Wien 1967, Kapitel I. Elementare Theorie der Extrema, S. 343–396.</li>

<li><a href="Richard_Courant" title="Richard Courant">Richard Courant</a>: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 4. Aufl., Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 141–148, 287–288.</li>

<li><a href="Otto_Forster" title="Otto Forster">Otto Forster</a>, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 247–254.</li>

<li>Otto Forster: Analysis II. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02356-0, S. 77–89.</li>

<li><a href="Silvanus_Phillips_Thompson" title="Silvanus Phillips Thompson">Silvanus P. Thompson</a>: Analysis leicht gemacht. 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1988, ISBN 3-87144-739-0, S. 82–98</li>

<li><a href="Theodor_Br%C3%B6cker" title="Theodor Bröcker">Theodor Bröcker</a>: Analysis 1. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-417-2, S. 97–100.</li>

<li>Vladimir A. Zorich: Analysis I. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-33277-0.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-:0_1-2">c</a> Forster, Lindemann: <cite style="font-style:italic">Analysis 1</cite>. 13. Auflage. S. 247.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Forster%2C+Lindemann&rft.btitle=Analysis+1&rft.edition=13.&rft.genre=book&rft.pages=247" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: <cite style="font-style:italic"><a href="Taschenbuch_der_Mathematik" title="Taschenbuch der Mathematik">Taschenbuch der Mathematik</a></cite>. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 405.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=I.+N.+Bronstein%2C+K.+A.+Semendjajew&rft.btitle=Taschenbuch+der+Mathematik&rft.date=2001&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=3817120052&rft.pages=405&rft.pub=Verlag+Harri+Deutsch" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Herbert Amann, <a href="Joachim_Escher_(Mathematiker)" title="Joachim Escher (Mathematiker)">Joachim Escher</a>: <cite style="font-style:italic">Analysis I</cite>. 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 333.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Herbert+Amann%2C+Joachim+Escher&rft.btitle=Analysis+I&rft.date=2006&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3764377550&rft.pages=333&rft.place=Basel&rft.pub=Birkh%C3%A4user+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Vladimir A. Zorich: <cite style="font-style:italic">Analysis I</cite>. S. 223.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Vladimir+A.+Zorich&rft.btitle=Analysis+I&rft.genre=book&rft.pages=223" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Burkhard Lenze: <cite style="font-style:italic">Basiswissen Analysis</cite>. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-29921-7, S. 158.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Burkhard+Lenze&rft.btitle=Basiswissen+Analysis&rft.date=2020&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=9783658299217&rft.pages=158&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: <cite style="font-style:italic">Elementare Analysis</cite>. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 254.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Andreas+B%C3%BCchter%2C+Hans-Wolfgang+Henn&rft.btitle=Elementare+Analysis&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=9783827420916&rft.pages=254&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Oliver Deiser: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis1_4_4_Z9">Analysis 1 | Ausblick: Irreguläre lokale Extremwerte.</a> In: aleph1.info. Abgerufen am 15. Oktober 2025.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AExtremwert&rft.title=Analysis+1+%7C+Ausblick%3A+Irregul%C3%A4re+lokale+Extremwerte&rft.description=Analysis+1+%7C+Ausblick%3A+Irregul%C3%A4re+lokale+Extremwerte&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.aleph1.info%2F%3Fcall%3DPuc%26permalink%3Danalysis1_4_4_Z9&rft.creator=Oliver+Deiser">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Otto Forster, Florian Lindemann: <cite style="font-style:italic">Analysis 1</cite>. 13. Auflage. S. 254.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Otto+Forster%2C+Florian+Lindemann&rft.btitle=Analysis+1&rft.edition=13.&rft.genre=book&rft.pages=254" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Theodor Bröcker: <cite style="font-style:italic">Analysis 1</cite>. S. 98.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Theodor+Br%C3%B6cker&rft.btitle=Analysis+1&rft.genre=book&rft.pages=98" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Theodor Bröcker: <cite style="font-style:italic">Analysis 1</cite>. S. 99.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Theodor+Br%C3%B6cker&rft.btitle=Analysis+1&rft.genre=book&rft.pages=99" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Konrad Königsberger: <cite style="font-style:italic">Analysis 1</cite>. 6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40371-X, S. 146.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Konrad+K%C3%B6nigsberger&rft.btitle=Analysis+1&rft.date=2004&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.isbn=354040371X&rft.pages=146&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Vladimir A. Zorich: <cite style="font-style:italic">Analysis 1</cite>. S. 248.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Vladimir+A.+Zorich&rft.btitle=Analysis+1&rft.genre=book&rft.pages=248" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: <cite style="font-style:italic">Taschenbuch der Mathematik</cite>. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 978-3-8171-2005-5, S. 404.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=I.+N.+Bronstein%2C+K.+A.+Semendjajew&rft.btitle=Taschenbuch+der+Mathematik&rft.date=2001&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783817120055&rft.pages=404&rft.pub=Verlag+Harri+Deutsch" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:1-16">↑ <a href="#cite_ref-:1_16-0">a</a> <a href="#cite_ref-:1_16-1">b</a> Otto Forster: <cite style="font-style:italic">Analysis 2</cite>. S. 82.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Otto+Forster&rft.btitle=Analysis+2&rft.genre=book&rft.pages=82" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Otto Forster: <cite style="font-style:italic">Analysis 2</cite>. S. 84 f.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Extremwert&rft.au=Otto+Forster&rft.btitle=Analysis+2&rft.genre=book&rft.pages=84+f." style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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